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수학

삼각 함수의 덧셈 정리의 증명

 삼각 함수의 덧셈 정리의 두 가지 증명입니다.

 

 위 두 그림에서 빨간색으로 표시된 AB=AB임을 이용합니다. OABOAB (SAS 합동)이기 때문입니다.

A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ)

AB2=(cosαcosβ)2+(sinα+sinβ)2=22cosαcosβ+2sinαsinβ

A(cos(α+β),sin(α+β)),B(1,0)

AB2=(cos(α+β)1)2+sin2(α+β)=22cos(α+β)

22cosαcosβ+2sinαsinβ=22cos(α+β)

cos(α+β)=cosαcosβsinαsinβ

 

 또, 위 두 그림에서 빨간색으로 표시된 AB=AB임을 이용합니다. 마찬가지로 OABOAB (SAS 합동)이기 때문입니다.

A(cosα,sinα),B(sinβ,cosβ)

AB2=(cosαsinβ)2+(sinαcosβ)2=22cosαsinβ2sinαcosβ

A(cos(α+β),sin(α+β)),B(0,1)

AB2=cos2(α+β)+(sin(α+β)1)2=22sin(α+β)

22cosαsinβ2sinαcosβ=22sin(α+β)

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

 

tan에 대해서는 특별히 직관적인 방법을 찾지 못했습니다.

tanθ=sinθcosθ

임을 이용합니다.

tan(α+β)=sin(α+β)cos(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβcosαcosβsinαsinβdivide both sides by cosαcosβ=tanα+tanβ1tanαtanβ

 

따라서,

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

cos(α+β)=cosαcosβsinαsinβ

tan(α+β)=tanα+tanβ1tanαtanβ

이때 증명 방법에 따라 αβ의 크기에 대해 일반적으로 위

 

이때, sincos에 대한 덧셈 정리는 0<α,β, α+β<90일 때 다른 방법으로도 보일 수 있습니다.

 

 AB=1이고 직사각형 AXYZ에 내접하는 ACB=90인 직각 삼각형 ABC입니다.

XAC+XCA=XCA+YCB=90

BCY=α

ABZ=BAX=α+β

AC=cosβ,BC=sinβ

AX=ACsinα=cosβcosα

BY=BCsinα=sinβsinα

cos(α+β)=BZ=AXBY=cosαcosβsinαsinβ

cos(α+β)=cosαcosβsinαsinβ

CX=ACsinα=cosβsinα

CY=BCcosα=sinβcosα

sin(α+β)=AZ=CX+CY=sinαcosβ+cosαsinβ

sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ

 

 sin(α+β)cos(α+β)에 대해 같은 식을 얻었습니다.