수학 삼각 함수의 덧셈 정리의 증명 mjhmjh1104 2021. 9. 1. 22:07 삼각 함수의 덧셈 정리의 두 가지 증명입니다. 위 두 그림에서 빨간색으로 표시된 AB―=A′B′―임을 이용합니다. △OAB≡△OA′B′ (SAS 합동)이기 때문입니다. A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ) AB―2=(cosα−cosβ)2+(sinα+sinβ)2=2−2cosαcosβ+2sinαsinβ A′(cos(α+β),sin(α+β)),B′(1,0) A′B′―2=(cos(α+β)−1)2+sin2(α+β)=2−2cos(α+β) ∴2−2cosαcosβ+2sinαsinβ=2−2cos(α+β) ∴cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ 또, 위 두 그림에서 빨간색으로 표시된 AB―=A′B′―임을 이용합니다. 마찬가지로 △OAB≡△OA′B′ (SAS 합동)이기 때문입니다. A(cosα,sinα),B(sinβ,cosβ) AB―2=(cosα−sinβ)2+(sinα−cosβ)2=2−2cosαsinβ−2sinαcosβ A′(cos(α+β),sin(α+β)),B′(0,1) A′B′―2=cos2(α+β)+(sin(α+β)−1)2=2−2sin(α+β) ∴2−2cosαsinβ−2sinαcosβ=2−2sin(α+β) ∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ tan에 대해서는 특별히 직관적인 방법을 찾지 못했습니다. tanθ=sinθcosθ 임을 이용합니다. tan(α+β)=sin(α+β)cos(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβcosαcosβ−sinαsinβdivide both sides by cosαcosβ=tanα+tanβ1−tanαtanβ 따라서, sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ 이때 증명 방법에 따라 α와 β의 크기에 대해 일반적으로 위 이때, sin과 cos에 대한 덧셈 정리는 0<α,β, α+β<90∘일 때 다른 방법으로도 보일 수 있습니다. AB―=1이고 직사각형 ◻AXYZ에 내접하는 ∠ACB=90∘인 직각 삼각형 △ABC입니다. ∠XAC+∠XCA=∠XCA+∠YCB=90∘ ∴∠BCY=α ∠ABZ=∠BAX=α+β AC―=cosβ,BC―=sinβ AX―=AC―sinα=cosβcosα BY―=BC―sinα=sinβsinα ∴cos(α+β)=BZ―=AX―−BY―=cosαcosβ−sinαsinβ ∴cos(α+β)=cosαcosβ−sinαsinβ CX―=AC―sinα=cosβsinα CY―=BC―cosα=sinβcosα ∴sin(α+β)=AZ―=CX―+CY―=sinαcosβ+cosαsinβ ∴sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ sin(α+β)와 cos(α+β)에 대해 같은 식을 얻었습니다. 공유하기 URL 복사카카오톡 공유페이스북 공유엑스 공유 게시글 관리 구독하기코타 '수학' Related Articles 좌표 공간에서 직선에의 대칭 변환 행렬 정사각 행렬이 아닌 행렬의 역행렬은 존재하지 않는다 정적분을 이용한 회전체 부피 구하기 k^m의 합