\(\sum^n_{k=1} k^m\) 의 일반항을 구하고자 합니다.
직관적 방법으로 자연수 \(m\leq2\)에 대해 일반항 구하기
\(m=1\)에 대하여, 가로의 길이가 \(n+1\)이고 세로의 길이가 \(n\)인 직사각형의 넓이를 생각함으로써 일반항을 구할 수 있습니다.
위의 그림에서 직사각형의 넓이 \(n(n+1)\)이 곧 \(2\sum^n_{k=1}k\)의 값이라는 것을 쉽게 알 수 있습니다. 따라서, $$\sum^n_{k=1}k=\frac{n(n+1)}{2}$$
또한 \(m=2\)에 대하여, 밑면이 한 변의 길이가 \(n+1\)인 정사각형이고 높이가 \(n\)인 직육면체의 부피를 생각함으로써 일반항을 구할 수 있습니다.
위의 그림에서 직육면체의 부피 \(n(n+1)^2\)이 곧 \(3\sum^n_{k=1}k^2+\sum^n_{k=1}k\)의 값이라는 것을 알 수 있습니다. 따라서, $$\sum^n_{k=1}k^2=\frac{n(n+1)^2-\sum^n_{k=1}k}{3}$$ 정리하면, $$\sum^n_{k=1}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$
대수적 방법으로 모든 자연수 \(m\)에 대해 일반항 구하기
곱셈 공식으로부터 다음이 성립합니다.
$$(k+1)^2-k^2=2k+1$$ 위 꼴의 등식들을 나열할 수 있습니다.
$$(1+1)^2-1^2=2\times1+1$$
$$(2+1)^2-2^2=2\times2+1$$
$$\vdots$$
$$(n+1)^2-n^2=2n+1$$
위 식들의 양변을 각각 더하면 다음 식을 얻습니다.
$$(n+1)^2-1^2=2\sum^n_{k=1}k+\sum^n_{k=1}1$$
정리하면,
$$\sum^n_{k=1}k=\frac{n(n+1)}{2}$$
비슷하게, 다음이 성립합니다.
$$(k+1)^3-k^3=3k^2+3k+1$$ 마찬가지로 위 꼴의 등식들을 나열합니다.
$$(1+1)^3-1^3=3\times1^2+3\times1+1$$
$$(2+1)^3-2^3=3\times2^2+3\times2+1$$
$$\vdots$$
$$(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1$$
위 식들의 양변을 각각 더하면 다음 식을 얻습니다.
$$(n+1)^3-1^3=3\sum^n_{k=1}k^2+3\sum^n_{k=1}k+\sum^n+{k=1}1$$
위에서 \(\sum^n_{k=1}k\)의 식을 알므로, 식을 더 간단하게 정리할 수 있습니다. 정리하면,
$$\sum^n_{k=1}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$
같은 방법으로,
$$(k+1)^{m+1}-k^{m+1}$$
위 식의 전개식을 양변을 각각 내리 더함으로써 임의의 자연수 \(m\)에 대해 \(\sum^n_{k=1}k^m\)의 일반항을 재귀적으로 구할 수 있습니다.
조합론적 방법으로 모든 자연수 \(m\)에 대해 일반항 구하기
하키 스틱 원리에 따라 다음이 성립합니다.
$${}_1\mathrm{C}_1+{}_2\mathrm{C}_1+\cdots+{}_n\mathrm{C}_1={}_{n+1}\mathrm{C}_2$$
정리하면,
$$\sum^n_{k=1}k=\frac{n(n+1)}{2}$$
비슷하게, 다음이 성립합니다.
$${}_2\mathrm{C}_2+{}_3\mathrm{C}_2+\cdots+{}_n\mathrm{C}_2={}_{n+1}\mathrm{C}_3$$
정리하면,
$$\frac{1}{2}\sum^n_{k=1}k(k-1)=\frac{(n-1)n(n+1)}{6}$$
위에서 \(\sum^n_{k=1}k\)의 식을 알므로, 식을 더 간단하게 정리할 수 있습니다. 정리하면,
$$\sum^n_{k=1}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$
같은 방법으로,
$${}_m\mathrm{C}_m+{}_{m+1}\mathrm{C}_m+\cdots+{}_n\mathrm{C}_m={}_{n+1}\mathrm{C}_{m+1}$$
위 식이 성립함에서 임의의 자연수 \(m\)에 대해 \(\sum^n_{k=1}k^m\)의 일반항을 재귀적으로 구할 수 있습니다.
