최근 학교에서 정적분을 이용해 회전체의 부피를 계산하는 법에 대해 배우고, 이를 이용한 문제 만들기 활동을 하면서 알게 된 내용을 정리했습니다.
구하려는 넓이 \(S\)는 \(x\)축과 \(x=a\), \(x=b\), \(y=f(x)\)의 그래프로 둘러싸인 영역의 넓이입니다. 함수 \(y=f(x)\)가 \([a,b]\)에서 연속이고 \(f(x)\geq0\)이라면, \(S\)의 값은 \(x\in[a,b]\)에서 \(ydx\)를 모두 더한 값입니다. 다음이 성립합니다.
$$S=\int_a^bf(x)dx=\int_a^bydx$$
마찬가지로, \(y\)축과 \(y=a\), \(y=b\), \(y=f(x)\)의 그래프로 둘러싸인 영역의 넓이 \(S'\) 역시 구할 수 있습니다. 함수 \(y=f(x)\)의 역함수 \(f^{-1}(x)\)가 \([a,b]\)에서 존재하고 연속이며 \(f^{-1}(x)\geq0\)이라면 \(S'\)의 값은 \(y\in[a,b]\)에서 \(xdy\)를 모두 더한 값입니다. 역시 다음이 성립합니다.
$$S'=\int_a^bf^{-1}(y)dy=\int_a^bxdy$$
같은 방법으로, \(S\)가 \(x\)축을 축으로 하여 회전한 회전체의 부피 \(V\) 역시 구할 수 있습니다. 함수 \(y=f(x)\)가 \([a,b]\)에서 연속이라면 \(V\)의 값은 \(x\in[a,b]\)에서 \(x^2\pi dy\)를 모두 더한 값입니다. 다음이 성립합니다.
$$V=\int_a^b\{f(x)\}^2\pi dy=\int_a^bx^2\pi dy$$
문제 1. \([1,e]\)에서 \(y=\ln x\)의 그래프가 \(x\)축을 축으로 하여 회전한 회전체의 부피를 구하세요.
풀이. $$\begin{align}V&=\int_1^e(\ln x)^2\pi dx\\&=\pi\left[x(\ln x)^2-2x\ln x+2x\right]_1^e\\&=(e-2)\pi\end{align}$$
문제 2. \([1,e]\)에서 \(y=\ln x\)의 그래프가 \(y\)축을 축으로 하여 회전한 회전체의 부피를 구하세요.
풀이. \(y=\ln x\)이므로 \(x=e^2\)입니다. 따라서, $$\begin{align}V&=\int_0^1(e^x)^2\pi dy\\&=\pi\left[\frac{1}{2}e^{2x}\right]_0^1\\&=\frac{1}{2}(e^2-1)\pi\end{align}$$
다음으로, 축으로 하는 직선이 \(x\)축 또는 \(y\)축이 아닌 경우입니다. 이는 문제 만들기 활동에서 다루었습니다.
문제 3. \([1,e]\)에서 \(y=\ln x\)의 그래프가 \(y=x\)를 축으로 하여 회전한 회전체의 부피를 구하세요.
풀이. \(x\)에 대하여 적분합니다. 다음 그림과 같이 밑변의 길이가 \(\ln x\)이고 높이가 \(dx\)이며 두 변이 \(y=x\)에 평행한 평행사변형이 만드는 회전체를 모두 더하겠습니다.
윗면의 반지름이 \(\frac{\sqrt{2}}{2}(x-\ln x)\)이고 아랫면의 반지름이 \(\frac{\sqrt{2}}{2}x\), 높이가 \(\frac{\sqrt{2}}{2}\)인 원뿔대 \(\mathrm{A}\)를 생각하고, 다음 그림과 같이 \(\sqrt{2}dx\)만큼 내려 겹쳐 그린 원뿔대 \(\mathrm{B}\)를 생각합시다.
그림과 같이 원통 \(\mathrm{C}\), 원통 \(\mathrm{D}\), 그리고 구하는 회전체 \(d\mathrm{V}\)를 볼 수 있습니다. 원뿔대 \(\mathrm{A}\)의 부피에 원통 \(\mathrm{D}\)의 부피를 더한 값이 원뿔대 \(\mathrm{B}\)의 부피에 원통 \(\mathrm{C}\)의 부피와 회전체 \(d\mathrm{V}\)의 부피를 더한 값과 같습니다. 그런데 원뿔대 \(\mathrm{A}\)의 부피와 원뿔대 \(\mathrm{B}\)의 부피가 서로 같으므로, 회전체 \(d\mathrm{V}\)의 부피는 원통 \(\mathrm{D}\)의 부피에서 원통 \(\mathrm{C}\)의 부피를 뺀 값과 같습니다. 이윽고, 다음이 성립합니다.
$$\begin{align}C&=\sqrt{2}dx\times\{\frac{\sqrt{2}}{2}(x-\ln x)\}^2\pi\\&=\frac{\sqrt{2}}{2}\{x^2-2x\ln x+(\ln x)^2\}\pi dx\\D&=\sqrt{2}dx\times(\frac{\sqrt{2}}{2}x)^2\pi\\&=\frac{\sqrt{2}}{2}x^2\pi dx\\dV&=D-C\\&=\frac{\sqrt{2}}{2}\{2x\ln x-(\ln x)^2\}\pi dx\end{align}$$
따라서,
$$\begin{align}V&=\int dV\\&=\int_1^e\frac{\sqrt{2}}{2}\{2x\ln x-(\ln x)^2\}\pi dx\\&=\frac{\sqrt{2}}{2}\pi\left[\frac{1}{2}x^2-x^2\ln x+2x+x(\ln x)^2-2x\ln x\right]_1^e\\&=\frac{\sqrt{2}}{4}(e^2-2e+5)\pi\end{align}$$
이와 같이 일반적으로 \(x\)축이나 \(y\)축이 아닌 직선을 축으로 하여 회전한 회전체의 부피 역시 구할 수 있습니다.
